Équation du troisième degré - Corrigé

Énoncé

Au 16^e  siècle, les mathématiciens italiens Niccolo Fontana (dit Tartaglia ) et Jérôme Cardan ont élaboré une méthode pour résoudre les équations du troisième degré de la forme 
\(x^3+px+q=0\) avec \(p \in \mathbb{R}\) et \(q \in \mathbb{R}\) .

En particulier, ces équations possèdent au moins une solution réelle  \(x_0\) donnée par la formule :
\(x_0=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\)  (formule de Cardan).

1. À l'aide de la formule de \(x_0\) , retrouver une solution de l'équation \(x^3-3x+2=0\) .

2. Montrer que pour l'équation \(x^3-15x-4=0\) , la formule de \(x_0\) donne : \(x_0 =\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\) .  
Cette formule fait apparaître la racine carré du nombre \(-121\) , qui est strictement négatif.

Afin de tenter de rendre générale la formule de Cardan, le mathématicien Raphaël Bombelli a introduit un nombre, noté ensuite \(i\) , et vérifiant \(i^2=-1\) . L'idée est ensuite d'utiliser les mêmes règles de calcul que dans \(\mathbb{R}\) . Ainsi,  \(-121\) est donc le carré de \(11i\) , car   \((11i)^2=11^2 \times i^2 = 121 \times (-1) = -121\) .

3. Montrer alors que : \((2+i)^3=2+11i\)  et \((2-i)^3=2-11i\) .

4. Quelle est alors la solution réelle donnée par la formule de Cardan ?

Solution

1. L'équation \(x^3-3x+2=0\)  est de la forme \(x^3+px+q=0\)   avec \(p =-3\) et \(q =2\) .

La formule de Cardan donne une solution :
\(x_0=\sqrt[3]{-\dfrac{2}{2}-\sqrt{\dfrac{2^2}{4}+\dfrac{(-3)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{2}{2}+\sqrt{\dfrac{2^2}{4}+\dfrac{(-3)^3}{27}}}\) ,
donc \(x_0 = \sqrt[3]{-1 - \sqrt{1-1} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{1-1} } = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1} = -1 + (-1) = -2\)

2. L'équation \(x^3-15x-4=0\)  est de la forme \(x^3+px+q=0\)  
avec \(p =-15\) et \(q =-4\) .
La formule de Cardan donne une solution :
\(x_0=\sqrt[3]{-\dfrac{-4}{2}-\sqrt{\dfrac{(-4)^2}{4}+\dfrac{(-15)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{-4}{2}+\sqrt{\dfrac{(-4)^2}{4}+\dfrac{(-15)^3}{27}}}\) ,
donc \(x_0 =\sqrt[3]{2-\sqrt{4-125}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{4-125}}\) ,
et finalement,  \(x_0 =\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\)  .

3. On a \((2+i)^3=(2+i)^2\times (2+i) = (4+4i+i^2)(2+i)= (4+4i-1)(2+i) = (3+4i)(2+i)\)
donc \((2+i)^3 = 3 \times 2 + 3i + 4i \times 2 + 4i \times i = 6 +3i +8i -4 = 2+ 11i\) .
De même,   \((2-i)^3 = (3-4i)(2-i)=3 \times 2 - 3i - 4i \times 2 + 4i \times i = 6 -3i -8i -4 = 2- 11i\) .

4.  On a donc
\(x_0 = \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+11\sqrt{-121}}= 2 - 11i + 2 + 11i = 4\) .